Potager et rectangle d'or

Il était une fois des hommes qui observaient la nature et découvraient que celle ci reproduisait et se reproduisait selon certains critères de proportion que les mathématiques et la géométrie purent mettre en calcul. Ils observaient que les règles s'appliquaient à un nombre colossale de choses naturelles existantes sur la planète, dont l'homme lui même. Ainsi lorsqu'ils construisaient par exemple des potagers, certains leurs donnaient des proportions correspondantes à ces calculs. construire un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle de longueur a et de largeur b tel que a et b soient en proportion d'extrême et de moyenne raison. En d'autres termes, un rectangle est dit d'or si le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d'or.

Pour tracer un rectangle d'or de longueur a et de largeur b, le plus simple est de dessiner un carré de côté b. En prenant le milieu de la base comme centre, on trace un cercle passant par les deux sommets opposés. L'intersection de la droite prolongeant la base du carré et du cercle détermine l'extrémité de la base du rectangle d'or. Il apparait comme construit par l'adjonction à un carré de côté de longueur b, d'un rectangle de côtés de longueur b et a - b, comme le montre la figure de droite. Un rapide calcul montre que ce rectangle est encore d'or : \frac {a-b}b = \frac ab - 1 = \frac {a+b}a - 1 = \frac ba = \frac 1{\varphi} \quad\text{donc}\quad \frac b{a-b} = \varphi \; Fibonacci spiral 34.svg

Il est possible de réitérer le processus précédent et d'intégrer un carré de côté a - b dans le rectangle d'or de côté b, a - b, comme indiqué sur la figure de gauche. Cette méthode peut être prolongée indéfiniment. Si, dans chaque carré est dessiné un quart de cercle d'extrémités deux côtés du carré, comme sur la figure, on obtient une spirale. Ce graphique est une bonne approximation d'une spirale d'or, d'équation polaire : r (\theta) = r.\varphi^{-\frac{\theta}{\pi/2}}

Cette spirale est un cas particulier de spirale logarithmique. Comme toute spirale de cette famille, elle possède une propriété caractéristique, si A est un point de la spirale, l'angle entre la droite passant par le centre de la spirale et A fait un angle constant avec la tangente à la spirale en A. Une telle spirale est dite équiangle. source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%27or#Omnipr.C3.A9sence

Pour une utilisation pratique de la méthode de la culture en carré 120 mm étant la largeur idéale du carré notre longueur devra être de 194.

Ainsi 194/120 = 1,616 soit égale au nombre d'or de 1,618.